Albano Cruz
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Lógica y menú del día

Si alguna vez has pedido un menú del día, entonces esta manera de ilustrar algunas de las relaciones básicas de la lógica te puede resultar útil. Vamos allá con la idea de si nos comemos o no el menú de hoy.

El menú

Supongamos que un menú está compuesto por un primer plato ($P$), y un segundo plato ($S$). El postre es opcional, así que lo dejaremos fuera. No nos importa tampoco el contenido de los platos. Nos basta saber que un menú consta de un primer y un segundo plato. Por lo tanto tenemos:

1. $P$
2. $S$
y 3. $P\ \wedge\ S$

Es la tercera declaración la que expresa que nos comemos el menú. Sólo será cierta ($\top$) cuando nos comamos ambos platos. Si:

1. $P=\top$
2. $S=\top$

Entonces:

3. $P\ \wedge\ S\ =\ \top$

Porque:

$\top \wedge \top = \top$

Sin embargo

¿Qué sucede si no nos comemos alguno de los platos? Pues que no nos habremos comido el menú. Así que basta que falte alguno de los platos (que sea “$\bot$”) para que no podamos considerar el menú como cierto. Por lo tanto, cuando:

1. $\top \wedge \bot$
o 2. $\bot \wedge \top$

Entonces:

3. $(P\ \wedge\ S)=\bot$

Elegir primer plato

Supongamos ahora que hay más de un primer plato para elegir. Que tenemos $P_1$ y $P_2$. Optar por alguno de los primeros platos se expresa como:

$P_1 \vee\ P_2$

Y si lo comparamos, cada $P$ con $\top$ y $\bot$, podemos deducir lo siguiente:

Siempre que al menos escoja uno de los dos platos, me comeré el primer plato. Si no escojo ninguno, entonces no me comeré el primer plato del menú.

Así que tanto

$\top \vee\ \bot$

como

$\bot \vee\ \top$

hacen que

$(P\ \vee\ S)=\top$

¿Y si me como los dos primeros?

Esta es una cuestión que suele resultar contra-intuitiva según el sentido común.1 Si me como los dos primeros platos, porque elijo los dos, ¿entonces me estoy eligiendo el primer plato? Esto tiene dos respuestas, pero en ambos casos la respuesta es .

Primera respuesta, muy discutida: elegir los dos primeros transforma “$\vee$” en “$\wedge$”. Y al tener las dos partes de una “$\wedge$”, entonces es “$\top$”.

Segunda respuesta, la normal: una elección (una disyunción) se satisface cuando al menos se toma una de las opciones. Si se toman las dos, también se ha satisfecho, porque la disyunción no entiende de grados. O se toma o no se toma. O se resuelve o no se resuelve. Si queremos que sólo se tome una de las dos opciones se ha de especificar, y entonces estaremos restringiendo la disyunción.2 En el ejemplo del menú esto se puede narrar de la siguiente manera: ¿he elegido $P_1$? Sí. Por lo tanto he elegido primer plato. ¿Y he elegido $P_2$? Sí, por lo tanto he elegido primer plato.

Así que

$(P_1\ \vee\ P_2)=\top$

cuando se cumple una de las siguientes condiciones:

1. $(\top\ \vee\ \bot)$
2. $(\bot\ \vee\ \top)$
3. $(\top\ \vee\ \top)$

En todas las demás no se cumple, y no me habré comido primer plato.

Es suficiente elegir al menos un primer plato para haber elegido primer plato. Si elijo dos, voy un poco más allá, pero sigo cumpliendo la suficiencia.3

Comienza lo raro y chulo

Hasta aquí hemos visto dos relaciones básicas: conjunción ($\wedge$) y disyunción ($\vee$). ¿Pero qué pasa con la tercera, la que expresa además causalidad y/o consecuencia ($\rightarrow$)?4

Pero primero una nota:

NOTA. Se considera que dos declaraciones lógicas son equivalentes y por lo tanto son “la misma” (sí, entrecomillado) e intercambiables si tienen el mismo valor de verdad en su resolución. El ejemplo más sencillo es que algo que sea falso que es falso es verdadero…

Es decir: $\neg\neg A\ =\ A$

Podemos salirnos de equivalencias así, pero es harina de otro costal que dejamos para otro momento gastronómico. Por ahora lo dejamos como está y nos volvemos al menú.

¡Seguimos!

Supongamos que es cierto que me comeré el menú. Y comienzo por el primer plato. Entonces, si me como el primer plato me como también el segundo. Así que si establecemos un orden lógico pasa esto:

Si me como el primer plato, entonces me como el segundo plato.

Que se expresa con

$P\ \rightarrow\ S$

Acabamos de expresar necesariedad.5 Y esto tiene una declaración equivalente que nos da mucho juego:

No puedo comerme el primero plato y no comerme el segundo.

Que se expresa como:

$\neg(P\ \wedge\ \neg S)$

Porque si pasa eso, entonces no me como el menú. Este momento es importante, porque por encima de las declaraciones estamos estableciendo un contexto lógico: el de la necesariedad (se ha de cumplir sí o sí) de comernos el menú.

Así que aparece una equivalencia muy interesante:

$(P\ \rightarrow\ S) = \neg(P\ \wedge\ \neg S)$

Pero, pero… aquí aparece un riesgo de confusión fundamental. Inadvertidamente hemos incluido una regla necesaria, que obliga a que si nos comemos el primer plato también nos comemos el segundo. ¿Pero qué pasa si nos comemos el segundo y no nos comemos el primero? Lo siguiente:

1. No nos comemos el primero, por lo tanto $P=\bot$.
2. Nos comemos el segundo, por lo tanto $S=\top$ y $\neg S=\neg\top$.
3. Resulta que $\neg\top$ es $\bot$.

Entonces, de la equivalencia de arriba, $\neg(P\ \wedge\ \neg S)$, obtenemos

$\neg(\bot\ \wedge\ \neg\top)$

que resulta en

$\neg(\bot\ \wedge\ \bot)$

que es

$\neg(\bot)$

O lo que es lo mismo (ojo al salto aparente): si me como el segundo plato, pero no me como el primero entonces me estoy comiendo el menú.

¡NOOOO!. Por eso hemos avisado.

Si definimos comernos el menú como comernos el primer plato y entonces comernos el segundo, no estamos hablando del segundo plato sino como consecuencia necesaria. Si nos comemos el segundo pero no el primero, no estamos usando esa definición de menú. Para emplear esa concepción necesitamos dos premisas. La de la consecuencia necesaria y lo que dispara la consecuencia. Así, si queremos emplear el consecuente (el $\rightarrow$) comer el menú es:

1. $P\ \rightarrow\ S$
y 2. $P$

Por eso al principio hemos definido comer el menú como ($P\ \wedge\ S$). O lo que es lo mismo, hemos establecido un marco de una sola premisa (la conjunción) en vez de uno de dos (la consecuencia y el primer plato).

NOTA. Si nos quedamos en el consecuente, no estamos hablando del menú, estamos hablando de la validez de la consecuencia. Y aquí aparece una de las paradojas más interesantes del mundo mundial. Resulta que una relación de consecuencia es cierta desde la perspectiva de la lógica siempre y cuando no haya una consecuencia falsa de un antecedente verdadero. Por ejemplo, si como adecuadamente estoy alimentado ($C\rightarrow A)$, pero puedo estar alimentado sin comer adecuadamente.6

De $\wedge$ a $\rightarrow$

Volvamos al menú.

Bien, tras aceptar como marco inicial ($P\ \wedge\ S$), menú de una sola premisa, vamos al siguiente razonamiento…

Recordemos que comer el menú es (paciencia, paciencia): no puedo comer el primer plato y no comer el segundo.

$\neg(P\ \wedge\ \neg S)=\top$

y como el primer plato ($P=\top)$, entonces hay que preguntarse qué ha de pasar con $S$ para que la igualdad con $\top$ permanezca.

Si $P=\top$
entonces $\neg(\top\ \wedge\ \neg S)=\top$

Y si sabemos que para que $\neg$-de-algo sea $\top$ ha de ser $\neg$-de-$\neg$-de-algo, entonces ha de pasar que

$(P\ \wedge\ \neg S)=\bot$

Si $P$ ya es $\top$, entonces tenemos que mirar al otro lado del $\wedge$, a $\neg S$. Y darnos cuenta que tiene que cumplirse que $\neg S=\bot$. Para ello necesitamos que $S=\top$,

…y así $\neg S=\bot$
…y así $(P\ \wedge\ \neg S)=\bot$
…y así $\neg(P\ \wedge\ \neg S)=\top$
…y ¡TACHAAAAAÁN!

Resulta que la relación de consecuencia lógica se puede obtener de esa forma de conjunción (de la negación de una conjunción).

La clave que estamos pasando por alto es que a la primera declaración (no puede ser que me coma el primer plato y no me coma el segundo) le estamos dando categoría de axioma. La estamos tomando como cierta sin darle muchas vueltas. Es la propia definición de lo que es comerse el menú desde la perspectiva de comernos el primer plato.

¿Y desde el segundo?

El razonamiento es el mismo. Si con el primero pasa que

$\neg(P\ \wedge\ \neg S)=(P\ \rightarrow\ S)$

Cuando partimos de que no puedo comerme el segundo plato y no comerme el primero (porque si no, no me estaría comiendo el menú), entonces el resultado es

$\neg(S\ \wedge\ \neg P)=(S\ \rightarrow\ P)$

Y podemos declarar algo mucho más preciso y completo:

Comerme el menú es no poder comerme el primer plato y no poder no comerme el segundo, y no poder comerme el segundo plato y no poder no comerme el primero.

NOTA. Son muchas letras, y es un lío.

Pero como hemos visto todo lo anterior, podemos resumirlo así:

$(P\ \rightarrow\ S) \wedge\ (S\ \rightarrow\ P)$

O lo que es lo mismo…

$P\ \leftrightarrow\ S$

Que es mucho más cómodo.

Resumiendo

Si comerse un menú es comer el primer plato y comer el segundo plato, entonces es consecuencia de ello que si me como el primer plato entonces me como el segundo, y si me como el segundo entonces me como el primero.

Y aunque parece una obviedad como un piano, esconde una paradoja material.7 Ahí lo dejo.8

¿Y para qué sirve este post?

A mí, para pasar un rato y practicar mecanografía. Al menos.

A un lector cualquiera, ni idea.

A un lector en concreto, y de cuyo nombre no quiero acordarme, como introducción a la lógica proposicional con ejemplos materiales incluyendo una breve insinuación de las Leyes de Morgan.

Y a ti…

¡A comer! Que son las 15:00h.

1 Ay. Qué sí, que el sentido común mola mucho para el día a día porque es como llamamos a encontrar sentido y coherencia a lo que nos sucede. Pero que no… por ejemplo, ante un desmayo alguien con preparación médica encontrará sensato de manera obvia una serie de acciones que alguien sin esa preparación puede siquiera conocer. Mi primo prevendrá un posible shock primero (es que es médico), y yo llamaré a una ambulancia. Para una mayor profundidad sobre ésto, Spinoza (como buen inicio).

2 Y se representa con “$\veebar$”.

3 Es muy posible que me cobren más, claro.

4 De las tres relaciones básicas, bastan dos de ellas para obtener la tercera.

5 Ojo, necesario e indispensable a veces son sinónimos, a veces no.

6 Un consecuente resulta válido/cierto en estos casos: $\top\rightarrow\top$, $\bot\rightarrow\top$, $\bot\rightarrow\bot$; el único caso en el que es inválido/falso es en $\top\rightarrow\bot$.

7 :-D

8 Nota final: en este post hay varias licencias tomadas respecto a la notación. Por ejemplo, el uso de “$=$” donde debería emplearse “$\rightarrow$”. Esta autoindulgencia se permite en aras de guardar cierta facilidad de lectura para el destinatario original del texto.

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